Parte Teórica
SERIES TELESCÓPICAS
Historia.
En la historia de las series, se encuentra el jesuita Gregory de Saint Vicent, matemático, geómetra del siglo XVII quien en su obra Opus geometricum publicada en 1647, presenta un estudio de una serie geométrica incluyendo diversas aplicaciones.
Definición.
En el estudio de las series numéricas se plantean 2 problemas:
- Decidir convergencia o divergencia de una serie.
- En el caso de ser convergente, calcular el valor de su suma.
- Para determinar si una serie es convergente o divergente debemos recurrir a la sucesión de sumas parciales asociada a la serie. Es convergente si:
Las series telescópicas son aquellas cuyo término general se puede descomponer en la diferencia de dos términos consecutivos, de manera que en las sumas parciales se simplifican todos los términos intermedios.
La suma parcial n-ésima es:
Si quitamos los paréntesis notamos como se eliminan casi todos los términos excepto el primero y el ultimo.
En definitiva la n- ésima suma parcial nos queda:
Se sigue que una serie telescópica converge si y sólo si an tiende al número finito cuando
Si tenemos presente como queda un telescopio al plegarlo o desplegarlo, se entiende porque estas sumas se llaman telescópicas. El nombre de telescópica se debe a que si desarrollamos la suma parcial Sn los sumandos se van cancelando dos a dos.
Convergencia de una serie telescópica:
Demostración:
Considerar la sucesión de sumas parciales asociada a la serie:
Comentarios
Publicar un comentario